Cumhuriyet Mahallesi’nde Zeytinlik Caddesi üzerinde yer alan konak, üzerindeki kitabesine göre 1913 yılında tamamlanmıştır. Büyük boyutlu konaklardan biri olan yapı, Trabzon’daki Levanten ailelerden Banker Kostaki Teophylaktos tarafından yaptırılmıştır. 2001 yılından itibaren Trabzon Müzesi olarak kullanılan konak, zemin kat üzerine iki normal kat ve teraslardan müteşekkildir. Art nouveau ağırlıkta olmak üzere eklektik üslup ile yapılmıştır. Rus ve baltık mimari ögelerini de barındıran konağın yoğun süsleme programı da dikkat çekmektedir.

Cumhuriyet Mahallesi’nde, Zeytinlik Sokak ile Kasım Sokağın birleştiği noktada yer alan Kostaki Konağı’nın banisi Trabzon’un yerli halkından Rum asıllı ve Rus vatandaşı  Banker Kostaki Teophylaktos’tir. 1898 yılında inşasına başlanılan konak, 1913 yılında tamamlanmıştır. Yapının tasarımını yapan mimarın ismi tespit edilememekle birlikte, değişik kaynaklarda mimarın İtalyan olduğu hatta Delfo Seminat ya da Raimondo D’Aronco olabileceği ileri sürülmektedir. Konağın proje mimarının bu iki isimden biri olma ihtimali olsa da yürütücü mimar olmadıkları anlaşılmaktadır. Çünkü bu iki mimarın da Trabzon’a geldikleri ile ilgili herhangi bir bilgi yoktur. Ancak Trabzon Atatürk Köşkü, Trabzon Sinemasi, Kanuni Anadolu Lisesi gibi büyük boyutlu yapıların da mimarı olan Alexadr Kakulidis’in bu yapının da yürütücü mimarı olma olasılığı oldukça yüksektir. 

Kostaki Konağı, 1917 yılında Nemlioğlu ailesi tarafından satın alınmış ve bu aile tarafından aynı işlevle kullanılmıştır. 1927 yılında kamulaştırılan konak, bu tarihten 1932 yılına kadar Hükûmet Konağı olarak kullanılmıştır. 1932-1937 yılları arasında Umum Müfettişlik binası olarak kullanılan konak, 1937 yılından 1987 yılına kadar Milli Eğitim Bakanlığı mülkiyetinde Trabzon Kız Meslek Lisesi olarak hizmet vermiştir. 1987 yılında Kültür Bakanlığı’na devredilen konak, 2001 yılına kadar süren ve yeterince nitelikli olmayan bir restorasyon çalışması sonrasında aynı yıl Trabzon Müzesi olarak hizmete açılmıştır. 2022 yılında tekrar restorasyona alınan konak, 2025 yılı başlarında Trabzon Müzesi olarak yeniden hizmete açılmıştır. 

Büyük boyutlu olarak tasarlanan Kostaki Konağı, Rus ve baltık mimarilerine de göndermeler barındıran eklektik sanat üslubu ile yapılmıştır. Konak, planlama anlayışı, cephe düzenlemeleri ve yoğun süsleme programıyla kentteki diğer örneklerden farklılık göstermektedir. Konağın inşa edildiği tarihlerde, levanten aileler tarafından yaptırılmış  payitaht İstanbul, İzmir, Selanik ve Beyrut gibi şehirlerde çok sayıda yapının benzer üslupta tasarlandığı göz önüne alınırsa, Trabzon şehrinin mimari mirasının yeri ortaya çıkacaktır. Konak, tek bir kütle yerine, farklı boyutlardaki dörtgen formların yanı sıra kuzeybatı ve güneydoğu yönlerde yer alan ve biri kuleye dönüşen iki adet sekizgen formlu mekan gibi değişik formların bir arada kullanılması ile elde edilen hareketli bir plana sahiptir. Yapının gerek boyut, gerekse de form açısından farklılaşan mekanları başarıyla bir araya getiren bir plan organizasyonuna sahip oluşu, cephe görünümünü de etkilemiştir. Cephede kırma çatılı ana kitleye yarım daire ve oval formlu kubbeleriyle eklemlenen kuleler, terasa dönüşen kısmı hazırlayan balık pulu şeklinde kurşunla kaplanmış eğimli duvarlar, kullanılan farklı pencere formları gibi yapı öğeleri yapının cephesine dinamik bir etki kazandırmıştır.

Yapının tüm cepheleri birbirinden farklı olup, simetrik bir düzen uygulanmamıştır. Yapının cephelerinde farklı derinlik, yükseklik ve forma sahip kütle hareketleri ve örtü sistemleri ile dinamik bir tasarım gerçekleştirilmiştir. Cephe duvarlarında, zemin katta granit, üst katlarda gül kurusu renkli andezit taş ve krem renkli sıvalı yüzeyler birlikte atlamalı olarak yapılmıştır. 

Cephe tasarımı, kat silmeleri, pencere ve kapı söveleri, demir giriş kapısı ve saçağı, mermer giriş merdiveni, ferforje balkon korkulukları, pencere altlarında kullanılan çini panolar, plastırlar, pencere kemerlerinin kilit taşlarındaki kraliyet tacı kabartması gibi süslemeler ile zenginleştirilmiştir. Tüm pencere kemerlerinde, kat silmelerinde, cephede taş ve sıvanın atlamalı yer aldığı düzenlemelerde, taş cinsi olarak sadece andezit taşın tercih edildiği görülmektedir. Yapı genelinde tasarlanan cephe boşluklarında, farklı kemer tipleri (düz atkılı, basık, yuvarlak) ve farklı pencere formları (dikdörtgen, yuvarlak ve elips) bir arada kullanılmıştır. Bodrum katta düz atkılı dikdörtgen ile daire formlu pencereler, zemin katta dikdörtgen formlu ve basık kemerli pencereler, 1. ve 2. (çatı) katta ise dikdörtgen formlu ve düz atkılı, basık ve yuvarlak kemerli pencereler yer almaktadır. Birinci ve ikinci katlarda, yatay ve düşey yönde hareket eden ve kullanılmadığında duvar içinde konumlanan çiftli kepenk sistemine sahip pencerelerin detayları ustalıkla tasarlanmış ve üretilmiştir.

Yapıda kullanılan süsleme programı oldukça zengin olup, her odanın bezemesi kendi içerisinde bir bütünlük göstermektedir. Konağın daha kapıdan girerken Tykhe heykeli ile vermeye başladığı şans, başarı, mutluluk, zenginlik mesajları, iç mekanlarda kullanılan bezemelerde yer alan, şans, talih, aşk, ticaret, kazanç, koruyucu vb. konuları betimleyen kanatlı aslan, Hermes, Afrodit, Eros, Venüs gibi mitolojik figürlerin kullanımıyla güçlü şekilde devam ettirilmiştir. Konağın zemin katında hem duvarlarda, hem de tavanlarda kompozisyonlar içinde, figüratif ve madalyonlar içerisinde natürmortlar, manzaralar, panolara ayrılarak resmedilmiş dal, çiçek demetleri, kurdeleler gibi tekil uygulamalar kullanılmıştır. Bu kompozisyonların içinde kişisel tercihlerle uygulanan mitolojik kahramanlar, hayvan figürleri, burçlar gibi öğeler, konağı benzerlerinden farklı kılmaktadır.